40统计基础- 正态分布的最大似然

下图是正态分布(normal distribution)的方程,有两个参数。第一个参数是希腊字母μ，它决定了正态分布平均值(mean)的位置，μ的值越小，分布的均值就会向左移动，μ的值越大，分布的均值就会向右移动。第二个参数是希腊字符σ，它是标准差(standard deviation)，决定了正态分布的宽度。我们将会使用似然去寻找μ和σ的最优值。

让我们从最简单的数据集:一个测量值开始。我们测量了一只老鼠的重量为32g。我们可以将μ= 28 、σ=2的正态分布覆盖到数据上。为了确定给定这条曲线的数据的似然，我们可以将这些数字代入似然函数中。

现在我们可以将分布向右平移一点，μ= 30，然后计算似然(Likelihood)。将这些数字代入似然函数中。然后我们可以代入一大堆μ值，看看哪个给出最大似然。然后将似然的值画成图，我们可以通过确定曲线的斜率为0的位置，来确定似然图中的峰值。然后我们可以代入一大堆σ值，看看哪个给出最大似然，以及μ。然后将似然的值画成图，我们可以通过确定曲线的斜率为0的位置，来确定似然图中的峰值，以及σ。

既然我们知道了如何计算一个正态分布的似然，我们有不止一个测量(我们只是把单个的似然相乘)，让我们计算最大似然来估计μ和σ。当我们有n个测量值时，计算似然的函数等于：

我们需要分别对μ和σ求导，在我们求导之前，我们分别对两边求log。对于μ和σ，似然函数和似然函数的对数都在相同的值处达到峰值。

然后化简，对μ和σ求导，然后令斜率=0。